直线上的有理点
直线上的有理点
华育中学 罗家亮
数 轴
全体实数所对应的点布满整个数轴.
实数和数轴上的点一一对应.
数轴上有理点的个数与分布
何谓分布？
例题 1 数轴上任意两个有理点之间有多少个有理点？
解：注意到以两个有理点为端点的线段的中点还是有理点，因此如果我们不断取出新的中点，我们将会得到无数个有理点.
“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
A
B
C
D
E
以下图为例，有理点A,B, 则下图中AB的中点C, AC的中点D, AD的中
点E都是有理点,如此继续下去即可.
思考：数轴上任意两个点之间多少个有理点？
解：只需要说明任意两个点之间至少由两个有理点就可以.
数轴上有理点的个数与分布
何谓分布？
设想有一个机器人，步长为 （有理数）从原点开始朝着这两个点之间的
“小水坑”走去. 这样，机器人每一步都踏在有理点上，只要步长够小，机器人
一定会有两步踏在水坑里. 而步长是可以到任意小的有理数的.
数轴上有理点的个数与分布
何谓分布？
机器人不是必须的. 事实上，我们只需要把任意两个相邻整数之间的数轴进行等分，只要等分得足够多，就可以保证有两个等分点落入给定的
两个点之间.
“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
思考：数轴上任意两个点之间多少个有理点？
1. 数轴上的有理点有无数个；
2. 数轴上的任意两个点之间都还有无数个有理点；
3. 有理点并没有布满整个数轴.
数轴上随意取一个数，取到有理数的可能性
有多大？
0
数轴上有理点的个数与分布
0
稠密性
坐标系中的有理点的个数与分布
y
x
o
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
坐标系中的有理点的个数与分布
任意一个区域内都有无数个有理点，有理点没有布满整个
平面.有理点的分布和数轴上的点一样具有稠密性和不完备性.
初中阶段，坐标系中的的直线按解析式可以分为以下三类:
坐标系中的有理点的个数与分布
通过对椭圆曲线上有理点的研究，
人类在358年后完成了对费马大定理的证明.
直线和有理点会有怎样的联系？
我们可以提出怎样的问题？
直线 x=m, 直线y=n, 直线y=kx+b（k≠0）
直线上有理点
例题 1 找出下列直线上所有的有理点.（1） 直线 ; （2） .
解：取 t 为任意有理数，则
（1）所有有理点为（t,0）;
（2）所有有理点为（t, 2t -1）.
例题 2（1） 判断下列直线所过的有理点的个数，并进行说理.
直线上有理点的个数
① 直线
② 直线
③
④
⑤
例题 2（1） 判断下列直线所过的有理点的个数，并进行说理.
直线上有理点的个数
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
直线上有理点的个数
0个：
1个：
① 直线
② 直线
③
④
无数个，形如
0个
无数个，形如
1个,
无数个，形如
1个,
0个
1个,
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
0个
⑩
无数个：
说理过程中你运用了哪些知识？
直线上有理点的个数
你有什么发现？
结论 1 对于以下三类直线 x=m,y=n, y=kx+b（k≠0）
当直线解析式的各项系数均为有理数时，直线经过无数个有理点；
直线经过两个有理点时，则直线的解析式的各项系数均为有理数.
总结1：直线上有理点的个数
结论 2
坐标平面上的直线经过有理点的个数可能是0，1，无数个.
结论 2 的等价叙述
当直线经过两个有理点时,则直线一定经过无数个有理点.
结论 2 当直线经过两个有理点时,则直线一定经过无数个有理点.
直线上有理点的个数
证明：
方法一：
“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
方法二：
斜率、截距对直线过有理点的影响
⑥ 解：设直线 y=kx+b 经过有理点（m,n）. 则 n=km+b, 故
b=n-km. 又m,n,k都是有理数, 因此 b 是有理数. 所以取 x 为
任意有理数，y 都算出有理数， 故直线经过无数个有理点.
结论 3
若直线经过有理点且直线斜率为有理数时，直线经过无数个有理点.
两直线的交点
例题 5（1） 直线 与 的交点是不是有理点？
解：联立两直线解析式可求得交点为（1，5），为有理点.
两直线的交点
解：求交点的过程就是在联立两条直线的解析式，求解一个关于 x,y 的二元一次
方程组. 这个方程组的解是方程组中各项系数的某种四则运算的结果，由题可知
直线解析式中各项系数都是有理数，由有理数对四则运算封闭可知，方程组的解
也就是交点的横纵坐标都是有理数.
例题 5（2） 已知 , 直线 与直线 的交点
是不是有理点？ 其中 均为有理数.
解：联立
解得交点横坐标为
由有理数对四则运算封闭可知，交点横坐标为有理数, 代入可知交
点纵坐标也是有理数, 从而交点为有理点.
例题 5（3） 已知A,B 是两个有理点，试问AB 的垂直平分线经过几个有理点？
垂直平分线与有理点
解：记线段AB的中点为M，垂直平分线为直线MN. 若MN斜率存在，则注意到直线AB和直线MN互相垂直，它们的斜率互为负倒数. 已知直线AB的斜率是有理数，故直线MN的斜率为有理数，由结论3可知，直线MN经过无数个有理点.
若MN斜率不存在，直线MN平行于 y 轴，由于M是有理点，故直线MN
上也有无数个有理点.
综上所述，线段AB的垂直平分线过无数个有理点.
例题 5（4） 平面直角坐标系中，三角形ABC 的三个顶点都是
有理点. 证明：三角形ABC 的外心也是有理点.
有理点为顶点的三角形
总结2：
直线和有理点有怎样的联系？
我们探讨了怎样的问题？

谈谈你在本节课的学习收获.
直线上的有理点
华育中学 罗家亮